\documentclass[11pt]{article}
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%profondeur de la table des matieres.
\setcounter{tocdepth}{1}
%*********************************************************
%*********************commandes****************************
%\input{/home/christine/Tex/commandes.sty}
%\input{/home/ge%----- Ensembles : entiers, reels, complexes -----
\newcommand{\Nn}{\mathbb{N}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Zz}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Qq}{\mathbb{Q}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\Rr}{\mathbb{R}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Cc}{\mathbb{C}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Kk}{\mathbb{K}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}}

%----- Modifications de symboles -----
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\Re}{\mathop{\mathrm{Re}}\nolimits}
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\newcommand{\rrbracket}{\right]\kern-0.15em\right]}
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%----- Fonctions usuelles -----
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%************************************************************
%
%**********************commandes locales*********************

%*************************************************************
%
\sloppy
\begin{document}
%
\begin{center}{\bf MPA S2 algèbre 2015 \\
Responsable: Christine Huyghe \\
2e partie du Contrôle Continu du 4 mai 2015 \\ Durée 1h30.}\\
\end{center}

   
\vspace{+2cm}

\noindent Il sera accordé le plus grand soin à la qualité de la rédaction. Sont interdits: les
documents, les téléphones portables, les baladeurs, et tout autre objet électronique
(calculatrice, ...). Vous pouvez admettre le résultat d'une question afin de traiter
les questions suivantes.

\vspace{+1cm}
%
%\tableofcontents
%}}}
\begin{enumerate}
		\item{Première partie}
				\begin{enumerate}
		                   \item Soient $n\in\N$ et $A\in M_n(\Cc)$. On note 
								   $$C(A)=\left\{M\in M_n(\Cc)\,|\, AM-MA=0\right\},$$
								   $$E(A)=\left\{P(A)\, | \, P\in \Cc[X]\right\}.$$
								   Montrer que $C(A)$ et $E(A)$ sont des sous-espaces vectoriels de $M_n(\Cc)$ et que 
								   $$E(A)\subset C(A).$$
								   	\item Soit $\lambda\in\Cc$. On pose $A=\lambda Id$. Calculer $C(A)$.
					        \item Montrer que $$ 2 \leq dim(C(A)) \leq n^2 .$$
										\item Soient $A$ et $B$ deux matrices semblables de $M_n(\Cc)$. Montrer que 
									$C(A)$ et $C(B)$ sont des sous-espaces vectoriels isomorphes.
							\item Pour cette question, on prend $n=2$, $\lambda,\mu$ deux nombres complexes 
									distincts, et $$A=\left(\begin{array}{cc}
												\lambda & 0  \\
												0 & \mu  \\
				                              \end{array}\right).$$
                                         \begin{enumerate}
												 \item Soit $B\in C(A)$. Montrer que $B$ est diagonale.
												 \item Montrer que $A^2-(\lambda + \mu)A+\lambda \mu Id=0$. 
												 \item Montrer que $E(A)=C(A)$.
										  \end{enumerate}
%							\item Soient $u,v \in {\cal L}(\Cc^2)$. On suppose que $u$ est diagonalisable et que ses
%									valeurs propres $\lambda,\mu$ sont distinctes. On suppose de plus que $v\circ u=u \circ v$.
%									Montrer qu'il existe $P\in\Cc[X]$ tel que $v=P(u)$.
%							\item Soient $A,B \in M_n(\Cc)$ tels que $B\in C(A)$, $u,v$ les endomorphismes associés à ces matrices dans la base 
%									canonique de $\Cc^n$. 
%														  Soit $\lambda $ une valeur propre de $u$ et $E_{\lambda}$
%																 le sous-espace propre associé à $\lambda$. Montrer que 
%																 $v(E_{\lambda})\subset E_{\lambda}$.
				\end{enumerate}
\vskip+10pt

	  \item{Deuxième partie} 

							  Dans cette partie on fixe $n=3$ et on se place sur le corps des nombres réels $\Rr$.
			                \begin{enumerate}
%                            \item Soit $$N=\left(\begin{array}{ccc}
%													0 & 0 & 1  \\
%													0 & 0 & 0  \\
%													0 & 0 & 0  
%				                              \end{array}\right).$$
%                                         \begin{enumerate}
%												 \item Montrer que $N^2=0$.
%												 \item Donner une base de $C(N)$ et montrer que l'inclusion $E(A)$ dans
%														 $C(N)$ est stricte, c'est-à-dire qu'il n'y a pas égalité
%														 $E(N)=C(N)$.
%										  \end{enumerate}
														
								  \item Soient $$A=
										  \left(\begin{array}{ccc}
														  \frac{1}{3} & \frac{5}{3} & -\frac{2}{3} \\
														  -\frac{2}{3} & -\frac{7}{3} & \frac{4}{3} \\
												-1 & -4 & 2 \end{array},\right)$$
														et $u$ l'endomorphisme associé à $A$ dans la base canonique de
														$\Rr^3$.
									Calculer une base de $Ker(u)$.
							\item Soit $F_1=Ker(u^2+Id)$. Montrer que $$ F_1 \bigcap Ker(u)={0},$$ et que $u(F_1)\subset
									F_1$. 
							\item Déterminer une base de $Im(u)$.
							\item On donne $$A^2=\left(\begin{array}{ccc}
                                    -\frac{1}{3} & -\frac{2}{3} & \frac{2}{3} \\
                                                0 & -1 & 0 \\
                                       \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} & -\frac{2}{3}
                                                            \end{array}\right).$$ 
									Montrer que $Im(u) \subset F_1$ et que $$E =F_1 \bigoplus Ker(u).$$
							\item Montrer qu'il existe $a,b,c\in \Rr$, tels que $A$ est semblable à une matrice du type 
                                             $$B=
	                                         \left(\begin{array}{ccc}
															 a & b & 0 \\
		                                                     c & -a & 0 \\
		                                                     0 & 0 & 0
		                                            \end{array}\right), $$
													tels que $a^2+bc=-1$.
							\item Soit $v \in {\cal L}(\Rr^3)$ tel que $v\circ u=u \circ v$. Montrer que 
									$v(Ker(u))\subset Ker(u)$ et que $v(F_1)\subset F_1$.
							\item Montrer que $dim(C(B))\leq 5$, puis, en utilisant la 3e question de la première
									partie, que $dim(C(A))\leq 5$.
								
	\end{enumerate}
	\end{enumerate}
%		\item{\bf Cours. 4pt} \begin{enumerate}\item Montrer qu'une matrice $A$ est inversible si et seulement si $det(A)\neq 0$.
%						\item Rappeler l'énoncé et le calcul du déterminant de van der Monde (sans donner la
%								démonstration).
%						\end{enumerate}
%		\item{\bf Vrai/Faux. 4pt} Vous devez impérativement justifier votre réponse, si nécessaire par un
%						contre-exemple.
%						\begin{enumerate}
%								\item Soient $U$ l'espace vectoriel des suites complexes, $a,b\in \Cc$ et 
%										$$V=\{(u_n)\in U \, | \, \forall n\geq 0,\, u_{n+2}=au_{n+1}+bu_n\}.$$ L'ensemble 
%										$V$ est un sous-espace vectoriel de $U$.
%								\item Soient $U$ l'espace vectoriel des suites complexes et 
%                                       $$W=\{(u_n)\in U \, | \, u_1=(u_0)^2\}.$$ $W$ est un sous-espace vectoriel de
%									   $U$.
%								\item Les fonctions $1$, $e^x$, $xe^x$ forment une famille libre de l'espace 
%										vectoriel des fonctions ${\cal C}^{\infty}$ de $\Rr\rig \Rr$.
%						\end{enumerate}
%		\item{\bf Exercice 2. 4pt}
%               \begin{enumerate}
%                                                 \item Les vecteurs $$ U=\left(\begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right),\,
%												V=\left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)$$ forment une
%														famille libre de $\Rr^3$.
%												\item Soit $$F=\left\{W=\left(\begin{array}{c} x \\ y \\ z
%														\end{array}\right)\, \textrm{ tels que }\,x+z=0\right\}.$$
%												Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $\Rr^3$ et que 
%												$(U,V)$ forme une base de $F$.
%				\end{enumerate}
%
%		\item{\bf Exercice 3. 8pt} Soit $M=M_4(\Cc)$ et $E=\mathbf{C}^4$. 
%				\begin{enumerate}
%						\item Soit $A\in M$ définie par $$A=\left(\begin{array}{cccc}
%												0 & 0 & 0 & 1 \\
%												1 & 0 & 0 & 0 \\
%												0 & 1 & 0 & 0 \\
%												0 & 0 & 1 & 0 
%				                              \end{array}\right),$$
%								et $B=A-Id$.
%						\item Montrer que $A^4=Id$ et calculer $det(A)$. 
%						\item Montrer que $Id,A,A^2,A^3$ forment une famille libre de $M$, puis que 
%								$Id,B,B^2,B^3$ forment une famille libre de $M$.
%%						\item Soient $E_0=Vect(Id)$, $F_0=Vect(Id)$, 
%%								$E_n=Vect(Id, A, A^2,\ldots, A^n)$, et $F_n=Vect(Id, B, B^2,\ldots, B^n)$. 
%%								Montrer que $E_1=F_1$, que $E_2=F_2$, puis que $E_n=F_n$ pour tout $n \geq 0$.
%						\item Montrer que $B$ n'est pas inversible et que $rang(B)=3$.\label{rangB} 
%						\item Soit $F=\{X\in \Cc^4\,| \, AX=X\}$. Montrer que $F$ est une droite vectorielle de 
%								$\mathbf{C}^4$ et en donner une base.
%						\item En utilisant la définition de $B$, montrer qu'il existe un polynôme unitaire 
%								(de coefficient dominant égal à $1$), de degré $4$, sans terme constant
%								$P\in\Cc[X]$ tel que $P(B)=0$. Ecrire $P(X)=XQ(X)$ où $Q$ est un polynôme unitaire 
%								de degré $3$, de sorte que $BQ(B)=0$.
%						\item Montrer que $Q(B)\neq 0$.
%						%\item Montrer que $E_4=E_3$, puis que $\forall n\geq 3$, $E_n=E_3$.
%					\end{enumerate}
%
%
%


%
%	\end{enumerate}
         
\end{document}
